TENSEGRITY
Formules bij de series
Om een of andere reden is de berekening van de exacte lengte van de houtjes zoals afgebeeld in de bovenste foto in series een aardig lastig opgave. Lastiger dan het berekenen van de touwlengten van de "lege stoel" bijvoorbeeld.
Op de foto hiernaast is een enkele tensegrity uit de serie afgebeeld. "Normaal" bestaat deze tensegrity uit 3 gelijke houtjes en 9 gelijke touwtjes. Bij deze tensegrity zijn nog steeds de 9 gelijke touwtjes gebruikt, maar er zijn 2 stokjes korter gemaakt. Ter compensatie moest dus één stokje extra lang gemaakt worden.
Maar hoe lang dan? Dat is de vraag waar deze pagina over gaat.
Om daar achter te komen is hier een hulpfoto gemaakt waar de tensegrity dankzij "straallijnen" om een vertikale as hangt. In de figuur is de stok die loopt van B naar F de lange stok, en de andere (van A naar E en van C naar D) de korte. Nogmaals: alle touwlengte zijn even lang. Als de houtjes wel alle drie even lang waren zou de volgende relatie tussen de touwlengte l en de straal r tot de vertikale as zijn:
| (30) |
Voor de hoogte z van die tensegrity zou gelden:
| (31) |
In deze figuur zijn hoeken te zien (in het horizontale vlak) tussen de verschillende straal lijnen. De hoeken δ, ε en η tussen de punten D, E en F en de hoeken φ (tussen A en D) en ω (tussen zowel B en E als tussen C en F).
In de onderste figuur is een vooraanzicht van de zelfde tensegrity met hulpradiuslijnen weergegeven. Hier zijn de hoeken α (nagenoeg 0), β en γ weergeeven. Hoek β wijst omhoog en is in die richting positief gedefinieerd. Hoek γ wijst normaal omlaag en is dan ook in die richting positief gedefinieerd. Hoek α kan zowel omhoog als omlaag wijzen. Omhoog is hier positief. Maar in de figuur wijst hij dus omlaag.
Voor de hoek δ geldt dat deze uitsluitend maar volledig afhangt van α en β volgens (vergelijking behorend bij touw D - F):
| (32) |
Op de zelfde manier (touw D - E):
| (33) |
en (touw E - F):
| (34) |
Bovenstaande drie hoeken vormen samen de volledige cirkel en dus 360 graden:
| (35) |
Vergelijkingen (32) t/m (35) beperken de verhoudingen tussen α, β en γ. Met de excel-sheet is geprobeerd aan te geven hoe de verhoudingen vast liggen. Linksboven is een bepaalde α gekozen (in dit geval -1). In een matrix zijn in de kolom verschillende β-waarden weergegeven (0, 1, 2, ..) en in de rij verschillende γ-waarden (0, 1, 2, ..).
Met α, β en γ kunnen δ, ε en η berekend worden. In de matrix zelf is te zien wat 360 - (δ + ε + η) is. Voor de tensegrity is deze 0, hetgeen is aangegeven met blauw. Dus één van de mogelijkheden is: α = -1, β = 3 en γ = 2.
Bovenaan de excelsheet is ook de grootte van φ te zien. Bij een tensegrity van 3 stokjes is deze 30 graden, maar nu is φ afhankelijk van α volgens onderstaande vergelijking ( te bepalen uit de touwlengte A - D):
| (36) |
Op een zelfde wijze ligt ook ω vast met β en γ (te bepalen uit touwlengte B - E of C - F):
- sin(β)*sin(γ)) / cos(β)*cos(γ) |
(37) |
Voor deze laatste ω geldt:
| (38) |
Ook deze vergelijking waaraan de tensegrity moet voldoen is in een excelsheet gezet waarvan hiernaast een gedeelte is afgebeeld. De vergelijking die in de sheet is gebruikt is ω - φ - ε + δ = 0. Daar waar de waarde overspringt van een negatieve waarde naar een positieve wordt aan deze vergelijking voldaan. Dus bijvoorbeeld bij α = -1 en γ = 6 hoort een β tussen de 3 en 4.
Met vergelijking (35) en (38) ontstaat een stelsel aan α-, β-, γ-waarden en voor iedere combinatie (α, β, γ) die aan de verg (35) en 38) voldoen kan de lengte van het lange stokje en de twee korte stokjes bepaald worden met de vergelijkingen:
r2*{(√(1+√3)+2*(sin(β))2 + 2*cos(β)*(1-cos(360-2*δ+φ))} |
(39) |
r2*{(3+√3)+2*√(1+√3)*(sin(α)-sin(γ))+ 2*(sin(α)*sin(γ)-cos(α)*cos(γ)*cos(ε+φ))} |
(40) |
Door nu een bepaalde korte stok lengte te kiezen, kan men voor verschillende α-waarden (en daarmee samenhangende β- en γ-waarden) de bijbehorende lange stoklengte uitrekenen. De α-waarde met de bijbehorende langste stoklengte is de juiste α-waarde en dus ook de juiste langste stoklengte.
