TENSEGRITY
Formule voor tetraëder tensegrities
Hier wordt beschreven hoe je de touw- en stoklengtes kunt berekenen van tensegrities zoals de tetraëder
In feite gaat het hier niet om een gewone tetraëder, maar om een zogenaamde afgeknotte tetraëder. Om het probleem op te kunnen lossen wordt deze tensegrity van een bepaald oogpunt bekeken, zoals hiernaast afgebeeld. Op deze manier kan het driedimensionale probleem toch in het platte vlak worden opgelost.
Eerst even de benamingen:
- s = de lengte van de stok
- b = lengte van de 12 touwtjes die tezamen 4 driehoeken vormen
- c = de lengte van de 6 touwen die de driehoeken met elkaar verbinden
- φ = hoek die de verdraaiing weergeeft tussen de driehoeken. Bij een gewone afgeknotte tetraëder is deze 0, maar bij een tensegrity dus niet.
De kleine elips beschrijft alle punten waar alle drie de hoekpunten van de driehoek met zijde b op gelegen zijn. In werkelijkheid liggen deze punten op een cirkel maar vanaf bovenaf gezien is het een ellips. De wijze waarop de ellips is afgeplat wordt bepaald door de karakteristiek van een tetraëder.
Een tetraëder heeft een hart waaruit vier assen denkbaar zijn die allen door hoek van de tetraëder lopen. De hoek ω tussen twee van deze assen is 109,47 graden. Belangrijker voor de berekening is echter de halve hoek, oftewel 54,74 graden, waarbij geldt cos(½ω) = √(1/3).
Bovenstaande figuren (die veel op elkaar lijken en eigenlijk alleen in φ verschillen), zijn twee voorbeelden van hoe de houtjes en de touwtjes zouden kunnen lopen.
De straal van de grote cirkel ligt vast met de keuze van touwlengte c. De straal (horizontale as) van de ellips ligt vast met de keuze van touwlengte b. Voor deze straal geldt namelijk:
| (41) |
Verder ligt vast dat de hoek in de ellips tussen het punt waar het touwtje c eindigt en waar stokeinde s eindigt precies 120 graden bedraagt.
De enige vraag die nog overblijft is: Bij welke hoek φ is de lengte van stok s maximaal.
Om dit uit te rekenen zijn er allerlei slimme technieken mogelijk, maar ik reken met excel gewoon voor alle hoeken φ (met stapgrootte van 0,1 graad) de lengte van s uit. De langste s geeft de juiste hoek, maar die is feitelijk minder interessant dan de lengte van s zelf.| (42) |
Waarbij:
| (43) |
| (44) |
| (45) |
| (46) |
Waarbij geldt cos(½ω) = √(1/3)
Het berekenen van een tetraëder tensegrity gaat dus als volgt:
Kies de touwlengten b en c. Vul deze waarden in vergelijking (43) t/m (46) en variëer met kleine stapgrootte de waarde φ.
De waarde van ½ s (resultante van verg (42) zal dan ook in kleine stappen variëren. De grootste ½ s is de juiste halve stoklengte.